Règle de trois
La règle de trois résout une proportionnalité : on multiplie en croix, puis on divise par la valeur restante. Si 3 articles coûtent 12 €, alors 5 articles coûtent (12 × 5) / 3 = 20 €. Elle ne vaut que si doubler la cause double l’effet, jamais sur un forfait ni sur un tarif par palier.
Exemple : si 3 articles coûtent 12 €
Trois articles coûtent 12 €, et l’on veut le prix de 5 articles. On multiplie en croix : 12 × 5 = 60, puis on divise par 3, ce qui donne 20 €.
La même mécanique répond à « combien de farine pour 6 personnes si la recette en prévoit pour 4 », ou « combien de temps pour 300 km si 100 km prennent 1 h 15 ».
Comment faire une règle de trois ?
Une règle de trois cherche une quatrième valeur à partir de trois connues, quand deux grandeurs sont proportionnelles. On multiplie en croix puis on divise par la valeur restante. Si 3 articles coûtent 12,60 €, alors 7 articles coûtent 7 × 12,60 € ÷ 3 = 29,40 €. La condition, souvent oubliée, est que la proportionnalité soit réelle.
Le produit en croix
Le nom vient de la disposition : on écrit les valeurs connues sur deux lignes, la valeur cherchée occupe le quatrième coin, et on multiplie les deux termes en diagonale avant de diviser par le troisième. Concrètement, si a correspond à b, alors c correspond à c × b ÷ a.
Sur notre exemple : 3 articles pour 12,60 €, donc 7 articles pour 7 × 12,6 ÷ 3, soit 29,40 €. L’opération inverse fonctionne évidemment aussi : 29,40 € pour 7 articles ramène bien 3 articles à 12,60 €.
Le passage par l’unité
Il existe une seconde méthode, plus lente mais plus sûre : ramener d’abord à une unité. Un article coûte 4,20 €, donc sept articles coûtent sept fois ce prix, soit 29,40 €. Le résultat est identique.
Cette variante a un avantage pédagogique réel : elle rend visible ce que le produit en croix escamote, à savoir qu’on suppose un prix unitaire constant. Si ce prix change avec la quantité — remise sur volume, palier tarifaire — la règle de trois donne un résultat faux tout en ayant l’air juste.
Le test de proportionnalité
Une règle de trois n’est valable que si les deux grandeurs varient dans le même rapport. Le test tient en une question : si l’une double, l’autre double-t-elle exactement ? Le prix de plusieurs articles identiques, oui. La durée d’un trajet en fonction du nombre de personnes, non. Le temps de cuisson en fonction du poids, non plus — un gigot deux fois plus lourd ne cuit pas deux fois plus longtemps.
C’est l’erreur la plus fréquente, et elle ne se voit pas dans le calcul : l’arithmétique est correcte, c’est le modèle qui ne l’est pas.
Proportionnalité inverse
Certaines grandeurs varient en sens contraire : plus il y a d’ouvriers, moins le chantier dure. La règle de trois s’applique alors à l’envers — on multiplie les deux valeurs connues de la même ligne et on divise par la troisième. Confondre les deux cas donne un résultat non seulement faux, mais absurde dans le bon sens.
Vérifier que la relation est bien proportionnelle
La règle de trois suppose que doubler la cause double l’effet. Cette hypothèse est vraie pour un prix unitaire, une recette ou une conversion d’unité. Elle est fausse dès qu’il existe un palier, un forfait ou un effet de saturation.
Trois peintres ne peignent pas un mur trois fois plus vite indéfiniment : à un moment ils se gênent. Un abonnement avec part fixe ne double pas quand la consommation double. Appliquer la règle de trois dans ces cas produit un chiffre exact au calcul et faux dans la réalité.
Le test rapide : si la valeur double, le résultat doit doubler aussi. Si ce n’est pas le cas, la relation n’est pas proportionnelle et cet outil ne convient pas.
Questions fréquentes
Quand la règle de trois ne s’applique-t-elle pas ?
Dès que la relation n’est pas proportionnelle. Trois peintres ne peignent pas un mur trois fois plus vite indéfiniment, et un forfait avec palier ne suit pas une droite. La règle de trois suppose que doubler la cause double l’effet.
Quelle différence avec un pourcentage ?
Aucune sur le fond : un pourcentage est une règle de trois dont le total de référence vaut 100. Les deux calculs reposent sur la même proportionnalité.
Trois peintres peignent un mur en 6 heures : combien de temps à deux ?
9 heures, et surtout pas 4. C’est le piège le plus courant de la proportionnalité : moins d’ouvriers, plus de temps, donc la relation est inverse. Il faut passer par le travail total — 3 × 6 = 18 heures-homme — puis le diviser par deux peintres. Appliquer la règle de trois directement au temps donne un résultat deux fois trop optimiste.
Quelle est la formule de la règle de trois ?
Si a correspond à b, alors c correspond à (c × b) ÷ a. Avec 3 articles à 12,60 €, sept articles reviennent à 29,40 €.
Comment savoir si la règle de trois s’applique ?
En vérifiant que doubler l’une des grandeurs double exactement l’autre. Si ce n’est pas le cas, la relation n’est pas proportionnelle et le produit en croix donnera un chiffre faux avec l’apparence de l’exactitude.
Comment faire une règle de trois inversée ?
Quand une grandeur augmente pendant que l’autre diminue, on multiplie les deux valeurs de la même ligne et on divise par la troisième. Six ouvriers en quatre jours, c’est vingt-quatre jours-homme : huit ouvriers mettront trois jours.
Peut-on faire une règle de trois avec des pourcentages ?
Oui, à condition que les pourcentages portent sur la même base. Deux taux calculés sur des totaux différents ne sont pas proportionnels entre eux, et les comparer directement fausse le résultat.